Question

如圖，在⊙O中，直徑AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，則
（1）BD的長是______；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）連接AD，
∵AC是⊙O的切線，
∴AB⊥AC，
∵∠C=45°，
∴AB=AC=2，
∴BC===2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴D是BC的中點，
∴BD=BC=；

（2）連接OD，
∵O是AB的中點，D是BC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD=1，
∴OD⊥AB，
∴=，
∴與弦BD組成的弓形的面積等于與弦AD組成的弓形的面積，
∴S_陰影=S_△ABC-S_△ABD=AB•AC-AB•OD=×2×2-×2×1=2-1=1．
分析：（1）連接AD，由于AC是⊙O的切線，所以AB⊥AC，再根據∠C=45°可知AB=AC=2，由勾股定理可求出BC的長，由于AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°，故D是BC的中點，故可求出BD的長度；
（2）連接OD，因為O是AB的中點，D是BC的中點，所以OD是△ABC的中位線，所以OD⊥AB，故=，所以與弦BD組成的弓形的面積等于與弦AD組成的弓形的面積，所以S_陰影=S_△ABC-S_△ABD，故可得出結理論．
點評：本題考查的是切線的性質，涉及到三角形的面積、等腰三角形的性質及三角形中位線定理、圓周角定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．