Question

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合)．

(1)如圖所示，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；

(2)當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12 　　∴AB＝13． 　　∵Q是BC的中點． 　　∴CQ＝QB． 　　又∵PQ∥AC． 　　∴AP＝PB，即P是AB的中點． 　　∴Rt△ABC，CP＝． 　　(2)解：當AC與PQ不平行時，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形． 　　以CQ為直徑作半圓D． 　�、佼敯雸AD與AB相切時，設(shè)切點為M， 　　連結(jié)DM，則DM⊥AB，且AC＝AM＝5． 　　∴MB＝AB－AM＝13－5＝8． 　　設(shè)CD＝x，則DM＝x，DB＝12－x． 　　在Rt△DMB中，DB2＝DM2＋MB2． 　　即(12－x)2＝x2＋82． 　　解之得：x＝ 　　∴CQ＝2x＝ 　　即當CQ＝且點P運動到切點M位置時，△CPQ為直角三角 　　形． 　　②當＜CQ＜12時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，△CPQ為直角三角形． 　　③當0＜CQ＜時，半圓D與直線AB相離，即點P在AB邊上運動時，均在半圓D外，∠CPQ＜90°．此時△CPQ不可能為直角三角形． 　　∴當≤CQ＜12時，△CPQ可能為直角三角形．