Question

等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的高線，M是AD上的動點，E是AB上的一動點，求EM+BM的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：作E關(guān)于AD的對稱點E′，連接BE′交AD于M，連接EM，過B作BF⊥AC于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形面積公式求出BF，根據(jù)對稱性質(zhì)求出BM+EM=BE，根據(jù)垂線段最短得出BM+EM≥

24

5

，即可得出答案．

解答：解：作E關(guān)于AD的對稱點E′，連接BE′交AD于M，連接EM，過B作BF⊥AC于F，
∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的高線，
∴BD=DC=3，AD平分∠BAC，
∴E′在AC上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=

52-32

=4，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AD=

1

2

×AC×BF，
∴BF=

BC×AD

AC

=

6×4

5

=

24

5

，
∵E關(guān)于AD的對稱點E′，
∴EM=E′M，
∴BM+EM=BM+E′M=BE′，
根據(jù)垂線段最短得出：BE′≥BF，
即BM+EM≥

24

5

，
即BM+EM的最小值是

24

5

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．