Question

（2012•隨州）如圖：已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：以AB為直徑的⊙O與斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）過O作OE垂直于CD，根據(jù)梯形的面積公式表示出梯形ABCD的面積，由O為AB的中點(diǎn)，將AB換為2OA，變形得到梯形的面積等于三角形OAD與三角形OBC的面積之和的2倍，又梯形ABCD的面積=三角形AOD的面積+三角形BOC的面積+三角形COD的面積，得到三角形COD的面積=三角形AOD的面積+三角形BOC的面積，而三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形，三角形COD的面積等于CD乘以O(shè)E除以2，分別利用三角形的面積公式表示后，根據(jù)AD+BC=CD，得到OA=OE，又OA為圓O的半徑，故得到CD過半徑OE的端點(diǎn)E，且與半徑OE垂直，進(jìn)而確定出CD為圓O的切線；
（2）取CD的中點(diǎn)F，連接OF，又O為AB的中點(diǎn)，得到OF為梯形的中位線，利用梯形中位線定理得到OF等于上下底之和的一半，再利用AD+BC=CD變形，得到OF為CD的一半，即OF等于以CD為直徑的圓F的半徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠DOC為直角，在直角三角形COD中，由OD與OC的長，利用勾股定理即可求出CD的長．

解答：解：（1）過AB的中點(diǎn)O作OE⊥CD于E，

∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AB=（AD+BC）•OA=2（

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OB）=2（S_△OAD+S_△OBC），
且S_梯形ABCD=S_△OBC+S_△OAD+S_△OCD，
∴S_△OBC+S_△OAD=S_△OCD，且OA=OB，
∴

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OB=

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OA=

1

2

（AD+BC）•OA=

1

2

CD•OE，
又∵AD+BC=CD，
∴OA=OE，
∴E點(diǎn)在以AB為直徑的⊙O上，又OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切線，即CD與⊙O相切；
（2）在CD上取中點(diǎn)F，連接OF，

∵OF為梯形ABCD的中位線，且AD+BC=CD，
∴OF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD，
∴O點(diǎn)在以CD為直徑的⊙F上，
∴∠COD=90°，
在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，
∴根據(jù)勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=

62+82

=10cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，梯形的中位線定理，以及梯形、三角形面積的計(jì)算，其中作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．