Question

如圖所示，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向外作△ABD，使∠ADB=120°，然后把△BCD繞著點C按順時針方向旋轉60°得到△ACE，如圖所示，已知BD=5，AD=3．
（1）由旋轉可知線段BC，CD，BD的對應線段分別是什么？
（2）求∠DAE的度數；
（3）求∠BDC的度數；
（4）求CE的長．

Answer 1

解：（1）BC對應AC，CD對應CE，BD對應AE．

（2）根據旋轉的性質可得：∠EAC=∠DBC，
∴∠EAC=∠DBA+∠ABC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC+∠DBA=120°+∠DBA，
∵∠ADB=120°，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=∠BAD+120°+∠DBA=∠BAD+∠ADB+∠DBA=180°．

（3）∵△BCD繞著點C按順時針方向旋轉60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°．

（4）由旋轉可知AE=BD=5，
又∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD=8．
而△CDE為等邊三角形，
∴CE=DE=8．
分析：（1）可以觀察旋轉變換，找出對應邊；
（2）∵∠BAE是△ABD的外角，可等于∠ABD+∠ADB，∴∠DAE就是△ABD的三個內角的和了；
（3）、（4）由于CD=CE及旋轉角是60°，可證明△CDE是等邊三角形，從而得出∠BDC的度數和CE的長度．
點評：本題考查旋轉的性質，旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．