Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE＝CB．

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；

(3)如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC＝90°即可證明BC是⊙O的切線； 　　(2)連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)； 　　(3)過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，由CE＝CB，可求出EG＝BE＝5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE＝2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的長，進(jìn)而求出⊙O的半徑． 　　解答： 　　(1)證明：連接OB 　　∵OB＝OA，CE＝CB， 　　∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC 　　又∵CD⊥OA 　　∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90° 　　∴∠OBA＋∠ABC＝90° 　　∴OB⊥BC 　　∴BC是⊙O的切線． 　　(2)連接OF，AF，BF， 　　∵DA＝DO，CD⊥OA， 　　∴△OAF是等邊三角形， 　　∴∠AOF＝60° 　　∴∠ABF＝∠AOF＝30° 　　(3)過點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，由CE＝CB， 　　∴EG＝BE＝5 　　又Rt△ADE∽Rt△CGE 　　∴sin∠ECG＝sin∠A＝， 　　∴CE＝＝13 　　∴CG＝＝12， 　　又CD＝15，CE＝13， 　　∴DE＝2， 　　由Rt△ADE∽Rt△CGE得＝ 　　∴AD＝·CG＝ 　　∴⊙O的半徑為2AD＝． 　　點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性不小，難度也不�。�

提示：

考點(diǎn)：切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．