Question

16．如圖①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，點(diǎn)D在AB邊上且∠ADC=45°．
（1）求∠BCD的度數(shù)；
（2）將圖①中的△BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BC′D′．當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在BC邊上時(shí)，如圖②所示，連接C′C并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E．
①求∠C′CB的度數(shù)；
②求證：△C′BD'≌△CAE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠BCD=∠ADC-∠CBA=15°；
（2）①由旋轉(zhuǎn)可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到∠CC'B=∠C'CB=75°；
②先根據(jù)AC=C'B，∠C'BD'=∠A，得出∠CEB=∠C'CB-∠CBA=45°，進(jìn)而得到∠ACE=∠CEB-∠A=15°，據(jù)此可得∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，運(yùn)用ASA即可判定△C'BD'≌△CAE．

解答 解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，
∴∠CBA=∠CAB=30°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BCD=∠ADC-∠CBA=15°=∠BC'D'；

（2）①由旋轉(zhuǎn)可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，
∴∠CC'B=∠C'CB=75°；
②證明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，
∴∠CEB=∠C'CB-∠CBA=45°，
∴∠ACE=∠CEB-∠A=15°，
∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，
在△C'BD'和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BC'D'=∠ACE}\\{AC=C'B}\\{∠C'BD'=∠A}\end{array}\right.$，
∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．