Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在軸y上．
（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四形？若存在，請求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（3，4）在直線y=x+m上，
∴4=3+m．
∴m=1；
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣1）²，
∵點(diǎn)A（3，4）在二次函數(shù)y=a（x﹣1）²的圖象上，
∴4=a（3﹣1）²，
∴a=1．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x﹣1）²，
即y=x²﹣2x+1；
（2）設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y_P和y_E．
∴PE=h=y_P﹣y_E=（x+1）﹣（x²﹣2x+1）=﹣x²+3x，
即h=﹣x²+3x（0<x<3）；
（3）存在．
要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC．
∵點(diǎn)D在直線y=x+1上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
∴﹣x²+3x=2，即x²﹣3x+2=0．
解得：x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）．
∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，四邊形DCEP是平行四邊形．