Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標(biāo)軸于A、B兩點，交雙曲線于點D，過D作兩坐標(biāo)軸的垂線DC、DE，連接OD，
（1）求證：AD平分∠CDE；
（2）對任意的實數(shù)b（b≠0），求證：AD·BD為定值；
（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）證明：由y=x+b，得A（-b，0），B（0，b），
∴∠DAC=∠OAB=45°，
又DC⊥x軸，DE⊥y軸，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，即AD平分∠CDE。
（2）證明：由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形，
∴，
又∵D在雙曲線上，
∴CD·DE=2，
∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4為定值。
（3）解：存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形。
理由：若四邊形OBCD為平行四邊形，
則AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD，
設(shè)OB=a（a>0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D在上，
∴2a·a=2，
∴a=1，a=-1（舍去），
∴B（0，-1） ，D（2，1），
又B在y=x+b上，
∴b=-1，即存在直線AB: y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形。