Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)一點P，使得PA：PB：PC=1：2：3，請利用旋轉(zhuǎn)知識，證明∠APB=135°．（提示：將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCP′，連接PP′）．

Answer 1

證明：如圖，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并連接PP′．
設(shè)PA=x，PB=2x，PC=3x，
∵將△APB繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′C，
∴△BP′C≌△BPA，∠APB=∠BP′C，BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，
∴△BP′P為等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，
∵PB=BP′=2x，
∴PP′==2 x，
∵PC=3x，CP′=PA=x，
∴PC²=PP′²+CP′²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．
分析：先畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后連接PP′，構(gòu)造兩個直角三角形：Rt△PBP′和Rt△PCP′，然后利用勾股定理逆定理解答即可．
點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，難度適中，將△APB繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°并連接PP′是解題的關(guān)鍵．