Question

14．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖1，則有a²+b²=c²；若△ABC為銳角三角形時(shí)，小明猜想：a²+b²＞c²，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB于點(diǎn)D，設(shè)CD=x．在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，在Rt△ADB中，AD²=c²-（a-x）²
∴a²+b²=c²+2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a²+b²＞c²
∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，a²+b²＞c²
所以小明的猜想是正確的．
（1）請(qǐng)你猜想，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a²+b²與c²的大小關(guān)系．
（2）溫馨提示：在圖3中，作BC邊上的高．
（3）證明你猜想的結(jié)論是否正確．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可猜測(cè)：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a²+b²與c²的大小關(guān)系為：a²+b²＜c²；
（2）根據(jù)題意可作輔助線：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D；
（3）然后設(shè)CD=x，分別在Rt△ADC與Rt△ADB中，表示出AD²，即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a²+b²與c²的大小關(guān)系為：a²+b²＜c²；

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

（3）證明：如圖3，設(shè)CD=x．
在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，在Rt△ADB中，AD²=c²-（a+x）²
∴a²+b²=c²-2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a²+b²＜c²
∴當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a²+b²＜c²．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于三角形的綜合題．考查了勾股定理以及三角形的面積問(wèn)題．注意理解題意是解此題的關(guān)鍵．