Question

2．如圖，將銳角△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α（其中0°＜α≤360°），得到△A′BC′，點D是邊AB的中點，點P是邊AC（含端點）上的一個動點，在△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，點P的對應(yīng)點是點P′．若AB=10，AC=8$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，DP′的長度為x，則x的取值范圍是7$\sqrt{2}$-5≤x≤19．

Answer 1

分析 由于D為AB的中點，P′為動點，則當DP⊥A′C′時，DP′最短，而在△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)（0°＜a≤360°）的過程中，當DP′在直線AB上時，DP′最短，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠C′=∠C=45°，BC′=BC=14，再利用含45度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BP′=7$\sqrt{2}$，而BD=5，所以DP′=BP₁-BD=7$\sqrt{2}$-5，當D、B、P′在一條直線上，且P′在點C′處時，DP′最長，此時BP′=14，BD=5，則BP′=14+5=19，從而求得x的取值范圍是7$\sqrt{2}$-5≤x≤19．

解答 解：過A點作AE⊥BC于E，
∵AB=10，AC=8$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，
∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=8，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=6，
∴BC=14，
∵D為AB的中點，P′為動點，
∴當DP′⊥A′C′時，DP′最短，
∵在△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a角（0°＜a≤360°）的過程中，當DP′在直線AB上，且P′點為A′C′與AB垂直時的垂足時，DP′最短，如圖1，
∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a角（0°＜a≤360°）得到△A′BC′，
∴∠C′=∠C=45°，BC′=BC=14，
∴BP′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC′=7$\sqrt{2}$，
∵AB=10，D為AB的中點，
∴BD=5，
∴P′D=BP′-BD=7$\sqrt{2}$-5．
∵在△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a角（0°＜a≤360°）的過程中，當D、B、P′在一條直線上，且P′在點C′處時，DP′最長，如圖2，
∵BC′=BC=14，
∴BP′=14，
∵BD=5，
∴BP′=14+5=19，
∴7$\sqrt{2}$-5≤x≤19．
故答案為7$\sqrt{2}$-5≤x≤19．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．