Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的圖象交于點A（1，k）和點B（-1，-k）．
（1）當(dāng)k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象的頂點；
（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k=-2時，即可求得點A的坐標(biāo)，然后設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

m

x

，利用待定系數(shù)法即可求得答案，將k=-2代入y=k（x²+x-1），運用配方法寫成頂點式，即可求出二次函數(shù)的圖象的頂點；
（2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的對稱軸為x=-

1

2

，可得x＜-

1

2

時，才能使得y隨著x的增大而增大

解答：解：（1）當(dāng)k=-2時，A（1，-2），
∵A在反比例函數(shù)圖象上，
∴設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=

m

x

．
將A（1，-2）代入得：-2=

m

1

，
解得：m=-2．
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

2

x

；
當(dāng)k=-2時，y=k（x²+x-1）=-2（x²+x-1）=-2（x²+x-1）=-2（x+0.5）²+2.5，
∴二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（-0.5，2.5）；

（2）∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，
∴k＜0．
∵二次函數(shù)y=k（x²+x-1）=k(x+

1

2

)2-

5

4

k，
∴對稱軸為：直線x=-

1

2

．
要使二次函數(shù)y=k（x²+x-1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，即x＜-

1

2

時，才能使得y隨著x的增大而增大．
綜上所述，k＜0且x＜-

1

2

．

點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．