Question

8．如圖1，有兩個(gè)分別涂有黃色和藍(lán)色的Rt△ABC和Rt△A′B′C′，其中∠C=∠C′=90°，∠A=60°，∠A′=45°．思考：能否分別作一條直線分割這兩個(gè)三角形，使△ABC所分割成的兩個(gè)黃色三角形與△A′B′C′所分割成的兩個(gè)藍(lán)色三角形分別對(duì)應(yīng)相似．
（1）如圖2，作直線CD，C′D，分別交AB于點(diǎn)D，交A′B′于點(diǎn)D′，∠BCD=45°，∠B′C′D′=30°，問△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′是否相似？并選擇其中相似的一對(duì)三角形，說明理由．
（2）如圖3，作直線AD，B′D′，分別交BC于點(diǎn)D，交A′C′于點(diǎn)D′，若△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似，求∠CAD，∠C′B′D′的度數(shù)（直接寫出答案）

Answer 1

分析 思考：在圖1中，可以分別作一條直線分割這兩個(gè)三角形，使△ABC所分割成的兩個(gè)黃色三角形與△A′B′C′所分割成的兩個(gè)藍(lán)色三角形分別對(duì)應(yīng)相似．根據(jù)相似三角形的判定方法即可證明．
（1）如圖2中，△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′相似，理由同上．
（2）如圖3中，當(dāng)∠CAD=∠C′B′D′=15°時(shí)，△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似．

解答 解：思考：在圖1中，可以分別作一條直線分割這兩個(gè)三角形，使△ABC所分割成的兩個(gè)黃色三角形與△A′B′C′所分割成的兩個(gè)藍(lán)色三角形分別對(duì)應(yīng)相似．

作CD平分∠ACB交AB于D，作∠A′C′D′=60°JIAO A′B′于D′．則△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．

（1）如圖2中，△BCD與△B′C′D′、△ACD與△A′C′D′相似，理由同上．

（2）如圖3中，當(dāng)∠CAD=∠C′B′D′=15°時(shí)，△ACD與△B′C′D′、△ABD與△A′B′D′均相似．

理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法，學(xué)會(huì)取特殊角解決問題，屬于中考�？碱}型．