Question

20．若一個(gè)四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的和諧線．已知在四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．（注：已畫四邊形ABCD的部分圖，請你補(bǔ)充完整，再求解）

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．

解答 解：∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖1，當(dāng)AD=AC時(shí)，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°；
如圖3，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
綜上：∠BCD的度數(shù)是：135°，90°或45°．

點(diǎn)評 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．