Question

10．（1）如圖1所示，若P為等邊△ABC內(nèi)一點，∠BPC=150°，△BPP′是等邊三角形，求證：PC²+PB²=PA²；
（2）如圖2所示，點P為等邊△ABC外一點，∠BPC=30°，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請說出PC，PB，PA的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）首先證明△PBC≌△P′BA，推出△APP′是直角三角形，利用勾股定理即可證明．
（2）結(jié)論仍然成立．證明方法類似．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△PBP′都是等邊三角形，
∴∠ABC=∠PBP′=∠BP′P=60°，AB=BC，PB=BP′=PP′，
∴∠PBC=∠P′BA，
在△PBC和△P′BA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠PBC=∠P′BA}\\{PB=P′B}\end{array}\right.$
∴△PBC≌△P′BA，
∴∠BP′A=∠BPC=150°，PC=P′A，
∴∠AP′P=90°，
∴AP²=AP′²+PP′²，∵AP′=PC，PP′=PB，
∴PA²=PB²+PC²．

（2）結(jié)論仍然成立．
理由如下：如圖2中，

∵△ABC，△PBP′都是等邊三角形，
∴∠ABC=∠PBP′=∠BP′P=60°，AB=BC，PB=BP′=PP′，
∴∠PBC=∠P′BA，
在△PBC和△P′BA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠PBC=∠P′BA}\\{PB=P′B}\end{array}\right.$
∴△PBC≌△P′BA，
∴∠BP′A=∠BPC=300°，PC=P′A，
∴∠AP′P=∠PP′B+∠AP′B=90°，
∴AP²=AP′²+PP′²，∵AP′=PC，PP′=PB，
∴PA²=PB²⁺PC²．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)．勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，靈活利用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．