Question

如圖，P為△ABC的邊BC的垂直平分線上的一點，此垂直平分線交BC于G，且∠PCB=

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2

∠A，BP、CP的延長線分別交AC、AB于D、E．求證：BE=CD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作BF⊥CE于F點，CM⊥BD于M點．證明Rt△BEF≌Rt△CDM．易證Rt△PBF≌Rt△PCM，得到BF=CM；由于∠A=∠BPE，在四邊形ADPE中，根據(jù)內(nèi)角和定理可得∠BEF=∠CDM，所以Rt△BEF≌Rt△CDM．得證．

解答：證明：作BF⊥CE于F點，CM⊥BD于M點，
則∠PFB=∠PMC=90°．
∵PG是BC的垂直平分線，
∴PB=PC．
在△PBF和△PCM中，

∠PFB=∠PMC ∠BPF=∠CPM PB=PC

，
∴△PBF≌△PCM（AAS），
∴BF=CM；
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB=

1

2

∠BPE．
∵∠PBC=

1

2

∠A，
∴∠A=∠BPE．
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°，
∴∠AEP+∠ADP=180°．
又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°，
∴∠BEF=∠CDM．
在△BEF和△CDM中，

∠BEF=∠CDM ∠BFE=∠CMD BF=CM

，
∴△BEF≌△CDM（AAS）．
∴BE=CD．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意構造全等三角形是關鍵，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．