Question

20．如圖1，已知E是邊長為1的正方形ABCD對角線BD上一動點(diǎn)，點(diǎn)E從B點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動（與B、D不重合），過點(diǎn)E作直線GH平行于BC，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H；連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE于點(diǎn)E，交CD（或CD的延長線）于點(diǎn)F．
（1）在圖1中判斷△AEF是什么三角形；
（2）點(diǎn)E在運(yùn)動過程中（圖1、圖2），四邊形AFHG的面積是否發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且GH∥BC，求證△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．又利用EF⊥AE，可得∠EFH=∠AEG，然后即可求證△AGE≌△EHF，推出AE=EF即可解決問題；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到BD的中點(diǎn)時，利用四邊形AFHG是矩形，可得S_{四邊形AFHG}=$\frac{1}{2}$；
（ii）當(dāng)點(diǎn)E不在BD的中點(diǎn)時，點(diǎn)E在運(yùn)動（與點(diǎn)B、D不重合）的過程中，四邊形AFHG是直角梯形．由（1）知，△AGE≌△EHF，同理，圖（2），△AGE≌△EHF可得，S_{四邊形AFHG}=$\frac{1}{2}$（FH+AG）•GH=$\frac{1}{2}$，然后即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且GH∥BC，
∴四邊形AGHD和四邊形GHCB都是矩形，
△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．
∴∠AGE=∠EHF=90°，GH=BC=AB，EG=BG
∴GH-EG=AB-BG
即EH=AG
∴∠EFH+∠FEH=90°
又∵EF⊥AE，
∴∠AEG+∠FEH=90°．
∴∠EFH=∠AEG
∴△AGE≌△EHF
∴AE=EF，∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（2）四邊形AFHG的面積沒有發(fā)生變化．
（i）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到BD的中點(diǎn)時，
四邊形AFHG是矩形，S_{四邊形AFHG}=$\frac{1}{2}$．
（ii）當(dāng)點(diǎn)E不在BD的中點(diǎn)時，點(diǎn)E在運(yùn)動（與點(diǎn)B、D不重合）的過程中，四邊形AFHG是直角梯形．
由（1）知，△AGE≌△EHF
同理，圖（2），△AGE≌△EHF
∴FH=EG=BG．
∴FH+AG=BG+AG=AB=1
這時，S_{四邊形AFHG}=$\frac{1}{2}$（FH+AG）•GH=$\frac{1}{2}$．
綜合（i）、（ii）可知四邊形AFHG的面積沒有發(fā)生改變，都是 $\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．