Question

如圖， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．點M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動．

（1）設(shè)ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離，并寫出x的取值范圍．

（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．  

由已知，AM＝x，AN＝20－x．

∵　四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，

∴　∠PAN＝∠D＝30º．

在Rt△APN中，PN＝（20－x），

即點N到AB的距離為（20－x）．        

∵　點N在AD上，0≤x≤20，點M在AB上，0≤x≤15，

∴　x的取值范圍是　0≤x≤15．              

（2）根據(jù)（1），S_△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝=－(x-10)+25．  

∴　當x＝10時，S_△AMN有最大值．

又∵　S_{五邊形BCDNM}＝S_梯形－S_△AMN，且S_梯形為定值，

∴　當x＝10時，S_{五邊形BCDNM}有最小值．  

當x＝10時，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．

則當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形． 

【解析】（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．根據(jù)直角三角形30º的角所對的直角邊等于斜邊的一半可表示出PN即為點N到AB的距離，由點M、N的位置即可得到x的取值范圍；

（2）先用含x的代數(shù)式表示出△AMN的面積，根據(jù)函數(shù)解析式的特征可得△AMN的面積最大值時的情況，此時五邊形BCDNM面積最小。