Question

已知，一次函數(shù)y=x+m-2與二次函數(shù)y=x²-2的圖象從左至右的交點(diǎn)依次為點(diǎn)B、A．
（1）求m的取值范圍．
（2）若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)之差為3，此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為C，證明△ABC為直角三角形．
（3）若△ABC的外接圓為⊙I，求過(guò)點(diǎn)B的⊙I的切線的解析式．

Answer 1

（1）解：∵一次函數(shù)y=x+m-2與二次函數(shù)y=x²-2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程x+m-2=x²-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△＞0，
方程變形為x²-x-m=0，△=1+4m＞0，解得m＞-，
即m的取值范圍為m＞-；

（2）證明：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，則為x₁-x₂=3，
∴（x₁-x₂）²=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，
對(duì)于x²-x-m=0，x₁+x₂=1，x₁•x₂=-m，
∴1+4m=9，解得m=2，
∴x²-x-2=0，解此方程得x₁=2，x₂=-1，
當(dāng)x=2，則y=4-2=2；當(dāng)x=-1，則y=1-2=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），如圖，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
BC=，AB=3，AC=2，
∴BC²+AB²=AC²，
∴△ABC為直角三角形；

（3）解：∵AC為Rt△ABC的斜邊，并且AC與x軸的交點(diǎn)（1，0）為AC的中點(diǎn)，
∴△ABC的外接圓⊙I的圓心I的坐標(biāo)為（1，0），
⊙I與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E與C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
連IB，EB，過(guò)B點(diǎn)作IB的垂線交y軸于P點(diǎn)，BQ⊥y軸于Q，
∵∠ABC=90°，∠IBP=90°，
∴∠ABI=∠PBC，
而∠ABI=∠BAI=∠BEC，
∴∠PBC=∠BEC，
∴△PBC∽△PEB，
∴PB：PE=PC：PB，即PB²=PE•PC，
設(shè)P（0，y），則EP=2-y，CP=-2-y，QP=-1-y，
∴1+（-1-y）²=（2-y）（-2-y），
解得y=-3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
設(shè)直線PB的解析式為y=kx+b，把B（-1，-1）、P（0，-3）代入得，-k+b=-1，b=-3，
解得k=-2，b=-3，
∴過(guò)點(diǎn)B的⊙I的切線的解析式為y=-2x-3．
分析：（1）根據(jù)題意得到關(guān)于x的方程x+m-2=x²-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△＞0，即，△=1+4m＞0，解不等式即可確定m的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，則為x₁-x₂=3，則（x₁-x₂）²=9，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有x₁+x₂=1，x₁•x₂=-m，得到1+4m=9，解得m=2，
解方程x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），利用勾股定理可計(jì)算出BC=，AB=3，AC=2，
則有BC²+AB²=AC²，即可得到結(jié)論；
（3）AC為Rt△ABC的斜邊，并且AC與x軸的交點(diǎn)（1，0）為AC的中點(diǎn)，則△ABC的外接圓⊙I的圓心I的坐標(biāo)為（1，0），⊙I與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，由垂徑定理可得點(diǎn)E與C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），連IB，EB，過(guò)B點(diǎn)作IB的垂線交y軸于P點(diǎn)，BQ⊥y軸于Q；利用等角的余角線段得∠ABI=∠PBC，根據(jù)圓周角定理易得
∠ABI=∠BAI=∠BEC，則∠PBC=∠BEC，于是△PBC∽△PEB，得PB：PE=PC：PB，即PB²=PE•PC，設(shè)P（0，y），則EP=2-y，CP=-2-y，QP=-1-y，1+（-1-y）²=（2-y）（-2-y），解得y=-3，得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），然后利用待定系數(shù)法確定直線BP的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：運(yùn)用一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系確定直線與二次函數(shù)圖形的交點(diǎn)坐標(biāo)，由坐標(biāo)有關(guān)計(jì)算線段的長(zhǎng)來(lái)判斷幾何圖形的性質(zhì)；同時(shí)運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)和圓的切線性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)．