Question

18．已知二次函數(shù)y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）
（1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，將這個(gè)二次函數(shù)的解析式寫成頂點(diǎn)式；
（2）求證：關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）把k代入拋物線解析式，然后利用配方法可確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）計(jì)算判別式的值，然后判別式的意義進(jìn)行證明．

解答 （1）解：把k=$\frac{1}{2}$代入y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）得y=x²-2x+$\frac{3}{4}$，
因?yàn)閥=（x-1）²-$\frac{1}{4}$
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{1}{4}$）；
（2）證明：△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
所以關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．