Question

9．如圖?所示，有四個(gè)同樣大小的直角三角形，兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，拼成一個(gè)正方形，中間留有一個(gè)小正方形．
（1）利用它們之間的面積關(guān)系，探索出關(guān)于a，b，c的等式；
（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的直角三角形中兩直角邊a，b和斜邊c之間的關(guān)系，完成問(wèn)題：如圖?，在直角△ABC中，∠C=90°，且c=6，a+b=8，則△ABC的面積為7；
（3）如圖③，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，若用x、y表示四個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)（x＞y），觀察圖案，指出以下關(guān)系式：
（1）xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$  （2）x+y=m  （3）x²-y²=m•n（4）x²+y²=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$   其中正確的有（1）（2）（3）（4）（填序號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)大正方形的面積的不同表示方法，即可得到于a，b，c的等式；
（2）根據(jù)（a+b）²=64，a²+b²=c²=36，即可得到ab=14，進(jìn)而得出△ABC的面積；
（3）根據(jù)完全平方公式以及平方差公式，即可得到xy，x+y，x²-y²以及x²+y²之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得出正確結(jié)論．

解答 解：（1）大正方形的面積=c²，
大正方形的面積=4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）²，
∴4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）²=c²，
∴2ab+b²-2ab+a²=c2，
即a²+b²=c²

（2）∵a+b=8，
∴（a+b）²=64，即a²+2ab+b²=64，
又∵a²+b²=c²=36，
∴2ab=64-36=28，即ab=14，
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×14=7
故答案為：7；

（3）∵矩形的邊長(zhǎng)分別為x，y，
∴矩形的面積=xy=（m²-n²）÷4=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$；
∵大正方形的邊長(zhǎng)為m，
∴x+y=m；  
∵小正方形的邊長(zhǎng)為n，
∴x-y=n，
∴x²-y²=（x+y）（x-y）=m•n；
∵x+y=m，xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=m²-2×$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$；
故其中正確的有（1）（2）（3）（4）．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了完全平方公式的幾何背景以及勾股定理的證明，解題時(shí)注意：證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和，化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．