Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．
（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）求證：BD=

3

MN．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD與BC的關(guān)系，根據(jù)MD與NC的關(guān)系，可得證明結(jié)論；
（2）根據(jù)根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DNC的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案．

解答：證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點，
∴MD=NC，MD∥NC，
∴MNCD是平行四邊形；

（2）如圖：連接ND，

∵M(jìn)NCD是平行四邊形，
∴MN=DC．
∵N是BC的中點，
∴BN=CN，
∵BC=2CD，∠C=60°，
∴△NCD是等邊三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，
∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，
∵DN=NC=NB，
∴∠DBN=∠BDN=

1

2

∠DNC=30°，
∴∠BDC=90°．
∵tan∠DBC=

DC

DB

=

3

3

，
∴DB=

3

DC=

3

MN．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用了一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正切函數(shù)．