Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且．

（1）求證：直線BF是⊙的切線；

（2）若AB=5，，求BC和BF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2），

【解析】（1）證明：連結(jié)AE．…………1分

∵  AB是⊙的直徑，∴  , ∴ ．…………2分

∵  AB=AC，∴ ．

又∵ ，∴ ．

∴ ．即∠ABF = 90°．…………3分

∵  AB是⊙的直徑，…………4分

∴ 直線BF是⊙O的切線．…………5分

 

（2）解：過點C作CG⊥AB于點G．…………6分

∵ ，【過點C作CG⊥BF亦可類似求解】

，∴ ．…………7分

∵ ，AB=5，

∴  BE==.又∵  AB=AC，，

∴ ．

在Rt△ABE中，由勾股定理得 AE=．…………8分

∴ ，．

在Rt△CBG中，可求得 ，．

∴ AG=3．∵ GC∥BF，∴ △AGC∽△ABF．…………10分

∴ ．∴ ．…………12分

（1）連結(jié)AE，利用角的等量代換求得∠ABF = 90°，即可得出結(jié)論

（2）過點C作CG⊥AB于點G，利用三角函數(shù)求出BC 的長，通過△AGC∽△ABF，求出BF的長