Question

如圖，直線y=kx+b，與拋物線y=ax²交于A（1，m），B（-2，4）+y軸交與點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；    
（2）求S_△AOB；
（3）求

BC

AC

的值；
（4）判斷點(diǎn)A是否在以BO為直徑的圓上？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B代入拋物線解析式求出a的值，即可得解；
（2）把點(diǎn)A代入拋物線解析式求出m，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，根據(jù)S_△AOC=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF，列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可；
（4）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AB的解析式，得到∠ACO=45°，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOC=45°，然后求出∠OAC=90°，然后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角證明即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，4），
∴4a=4，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²；

（2）把點(diǎn)A（1，m）代入y=x²得m=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，
S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF，
=

1

2

×（1+4）×（1+2）-

1

2

×1×1-

1

2

×2×4，
=

15

2

-

1

2

-4，
=3；

（3）∵AE⊥x軸，BF⊥x軸，OC⊥x軸，
∴AE∥BF∥OC，
∴

BC

AC

=

OF

OE

=2；

（4）∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A（1，1），B（-2，4），
∴

k+b=1 -2k+b=4

，
解得

k=-1 b=2

，
∴直線AB的解析式為y=-x+2，
∵直線AB與y軸交與點(diǎn)C，
∴∠ACO=45°，
∵點(diǎn)A（1，1），
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=180°-45°-45°=90°，
∴點(diǎn)A在以BO為直徑的圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，以及直徑所對(duì)的圓周角是直角是的性質(zhì)，綜合題，但難度不大．