Question

如圖，在邊長(zhǎng)在2的正方形ABCD中，點(diǎn)F在x軸上一點(diǎn)，CF=1，過(guò)點(diǎn)B作BF的垂線，交y軸于點(diǎn)E；
（1）求過(guò)點(diǎn)E、B、F的拋物線的解析式；
（2）將∠EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，角的一邊交y軸正半軸于點(diǎn)M，另一邊交x軸于點(diǎn)N，設(shè)BM與（1）中拋物線的另一交點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為時(shí)，EM與NO有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)P在（1）中的拋物線上，且PE與y軸所成銳角的正切值為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意，可得點(diǎn)B（2，2）；
∵CF=1，
∴F（3，0）；
在正方形ABCD中，∠ABC=∠OAB=∠BCF=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠ABC，
即∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF；
∴E（0，1）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)E，B，F(xiàn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+1，則有：
，
解得；
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+x+1．

（2）∵G（在拋物線y=-，
∴，
∴G（，）；
設(shè)過(guò)B、G的直線解析式為y=kx+b，
∴
∴
∴過(guò)點(diǎn)BE的直線解析式為y=，
∴直線y=與y軸交于點(diǎn)M（0，3），
∴EM=2；
可證△ABM≌△CBN，
∴CN=AM，
∴ON=1；
∴EM=2ON．


（3）點(diǎn)P在拋物線y=上，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，，
如圖2：①過(guò)點(diǎn)P₁作P₁H1⊥y軸于點(diǎn)H₁，連接P₁E；
∴tan∠H₁EP₁=，
∴，
即，
解得（不合題意，舍去）；
②過(guò)點(diǎn)P₂作P₂H₂⊥y軸于點(diǎn)H₂，連接P₂E，
∴tan∠，
∴，
解得（不合題意，舍去）
當(dāng)，
當(dāng)．
綜上所述，點(diǎn)P₁（，），P₂（，-）為所求．
分析：（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)易求得B、F點(diǎn)坐標(biāo)．若∠EBF=90°，那么∠ABE、∠CBF為同角的余角，由此可證得△ABE≌△CBF，即可求得AE的長(zhǎng)，從而可得到E點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，可確定G點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得直線BG的解析式，從而得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到EM、AM的長(zhǎng)，由（1）知AM=CN，由此可求得CN、ON的長(zhǎng)，然后可求得EM、ON的數(shù)量關(guān)系．
（3）此題應(yīng)分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，連接PE，根據(jù)拋物線的解析式可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得到EH、PH的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠PEH的正切值求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)下方時(shí)，方法同①．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．