Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=2

5

，AB=3

5

，BD平分∠ABC，E為BD延長線上一點，且∠E=45°，求AE之長．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：過C作CF∥BD，交AB延長線于F，過A作AQ⊥BE于Q，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出AD、CD，根據(jù)勾股定理求出BD，證△AQD∽△BCD，求出AQ，即可求出答案．

解答：解：
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2

5

，AB=3

5

，由勾股定理得：AC=

AB2-BC2

=5，
過C作CF∥BD，交AB延長線于F，過A作AQ⊥BE于Q，
則∠1=∠F，∠2=∠3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠F，
∴BC=BF，
∵BD∥CF，
∴

AD

DC

=

AB

BF

=

AB

BC

∴

AD

5-AD

=

3 5

2 5

，
∴AD=3，
∴CD=5-3=2，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BD=

BC2+CD2

=

(2 5 )2+22

=2

6

∵∠ACB=90°，AQ⊥BD，
∴∠AQD=∠DCB，
∵∠ADQ=∠BDC，
∴△ADQ∽△BDC，
∴

AD

BD

=

AQ

BC

，
∴

3

2 6

=

AQ

2 5

，
∴AQ=

30

2

，
∵AQ⊥BE，
∴∠AQE=90°，
∵∠E=45°，
∴∠EAQ=∠E=45°，
∴EQ=AQ=

30

2

，
由勾股定理得：AE=

( 30 2 )2+( 30 2 )2

=

15

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分線定義的應用，綜合性比較強，有一定的難度．