Question

矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC的面積是

 

．

Answer 1

分析：根據已知條件，先求出線段AE，BE，DE的長度，進而求Rt△AED的面積，再證明△ECD的面積與它相等即可得出答案．

解答：解：如圖，過點C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，AB=4，AE⊥BD，∠BAE=30°，
∴AB²=BE×BD，BE=2，AE=2

3

，
∴ED=BD-BE=6，
∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD=4，AEB=∠CFD=90°．
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．
∴S_△AED=

1

2

ED•AE，S_△ECD=

1

2

ED•CF
∴S_△AED=S_△CDE，
∵AE=2

3

，DE=6，
∴△ECD的面積是6

3

．
故答案為：6

3

．

點評：本題考查了射影定理及矩形的性質，解題的關鍵是要注意問題的轉化．此題還要求掌握直角三角形的性質，直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半．