Question

如圖，DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于點(diǎn)P．若記S_△ABC=S，S_△PDM=S₁，S_△PEF=S₂，S_△PGN=S₃．請(qǐng)猜想：S與S₁、S₂、S₃之間存在怎樣的關(guān)系？你能加以驗(yàn)證嗎？

Answer 1

分析：根據(jù)DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，MN∥AC，求證△PDM∽△CBA，利用四邊形DPBG是平行四邊形得出PD=BG，

DM

AB

=

BG

BC

，

EF

AC

=

CN

BC

，進(jìn)一步得出

DM

AB

+

EF

AC

+

GN

BC

=

BC

BC

=1，再利用相似三角形面積比是相似比的平方即可得出結(jié)論．

解答：解：S與S₁、S₂、S₃之間存在關(guān)系：

S1

+

S2

+

S3

=

S

．
證明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴

DM

AB

=

PD

BC

，
又∵DE∥BC，
∴四邊形DPGB是平行四邊形，
∴PD=BG，
∴

DM

AB

=

BG

BC

，
同理：

EF

AC

=

CN

BC

，
∴

DM

AB

+

EF

AC

+

GN

BC

=

BC

BC

=1
由△PDM∽△CBA得

S1

S

=(

DM

AB

)2，
即

S1

S

=

DM

AB

，

S2

S

=

EF

AC

，

S3

S

=

GN

BC

，
∴即

S1

S

+

S2

S

+

S3

S

=1，
∴

S1

+

S2

+

S3

=

S

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形面積的理解和掌握，利用相似三角形的相似比和平行四邊形的性質(zhì)得出

DM

AB

+

EF

AC

+

GN

BC

=

BC

BC

=1，這是此題的突破點(diǎn)，此題屬于難題．