Question

如圖，地面上直立著的兩根高壓電線桿相距50m（CD的長(zhǎng)度），分別在高為30m的A處和20m的B處用鋼索將兩電線桿固定．
（1）求鋼索AD和鋼索BC的交點(diǎn)E處離地面的高度．
（2）若兩電線桿的距離（CD的長(zhǎng)度）發(fā)生變化，點(diǎn)E離地面的高度是否隨之發(fā)生變化？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知△ACD和△BCD都是直角三角形，且AC=30m，BD=20m，求點(diǎn)E到CD的距離，當(dāng)CD的長(zhǎng)度變化時(shí)，點(diǎn)E到CD的距離是否發(fā)生變化．
（2）所求距離不能用勾股定理求解，應(yīng)考慮相似三角形．

解答：解：（1）作EF⊥CD于F，
因?yàn)锳C⊥CD，BD⊥CD，
所以AC∥BD∥EF．
所以△DEF∽△DAC，△CEF∽△CBD，
所以

EF

AC

=

DF

DC

，

EF

BD

=

CF

DC

．
所以

EF

AC

+

EF

BD

=

DF

DC

+

CF

DC

=

DF+CF

DC

=1．
因?yàn)锳C=30，BD=20，
所以

EF

30

+

EF

20

=1，
解得EF=12（m）．
即鋼索AD與鋼索BC的交點(diǎn)E離地面的高度是12m．
（2）若兩電線桿的距離（CD的長(zhǎng)度）發(fā)生變化，點(diǎn)E離地面的高度不發(fā)生變化．
因?yàn)閺模?）中可知，CD為任意長(zhǎng)時(shí)總有：

EF

AC

+

EF

BD

=1，EF（

1

AC

+

1

BD

）=1．所以EF=

AC•BD

AC+BD

．
故EF的長(zhǎng)度與CD的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，當(dāng)圖形中有平行線、對(duì)頂角、公共角等與相似三角形有密切關(guān)系的條件時(shí)，可利用相似三角形的性質(zhì)求解．
小結(jié)：相似三角形判定方法的作用：①可以用來(lái)判定兩個(gè)三角形相似；②間接說(shuō)明角相等，線段成比例；③間接為計(jì)算線段長(zhǎng)度及角的大小創(chuàng)造條件．
總結(jié)：本講內(nèi)容多為基礎(chǔ)性知識(shí)，各類考試難度一般不大，通常以填空題、選擇題和簡(jiǎn)單的解答題為主．學(xué)習(xí)時(shí)注意和相關(guān)知識(shí)的對(duì)比和聯(lián)系．