Question

已知直線y=kx-3與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，動點(diǎn)P在x軸上以每秒1個單位長度的速度由拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q由點(diǎn)C沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動且速度是點(diǎn)P運(yùn)動速度的2倍。
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t（秒），試問當(dāng)t為何值時，△PQA是直角三角形；
（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx-3過點(diǎn)A（4，0） ∴0=4k-3，解得k=， ∴直線的解析式為y=x-3， 由直線y=3x-3與y軸交于點(diǎn)C，可知C（0，-3） ∵拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)C， ∴-×42+4m-3=0，解得m=， ∴拋物線解析式為：y=；
（2）對于拋物線y=， 令y=0，則-x2+x-3=0，解得x1=1，x2=4 ∴B（1，0） ∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t ①若∠Q1P1A=90°，則P1Q1//OC（如圖（1）） ∴△AP1Q1∽△AOC ， ，解得t=； ②若∠P2Q2A=90° ∵∠P2AQ2=∠OAC ∴△AP2Q2∽△ACO， ， ，解得t=， ③若∠QAP=90°，此種情況不存在， 綜上所述，當(dāng)t的值為或時，△PQA是直角三角形；
（3）存在，理由：過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)F（如圖（2）） ∴S△ADF=DF·AE，S△CDF=DF·OE ∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF·AE+DF·OE=DF×（AE+OE）， =×（DE+EF）×4=×（-x2+x-3-x+3）×4=-x2+6x， ∴S△ACD=-（x-2）2+6（0<x<4） 又0<2<4且二次項(xiàng)系數(shù)-<0， ∴當(dāng)x=2時，S△ACD的面積最大， 而當(dāng)x=2時，y=， ∴滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，）。	（2）