Question

如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A(2，0)，交拋物線于點(diǎn)B(1，)，點(diǎn)C到△OAB各頂點(diǎn)的距離相等，直線AC交y軸于點(diǎn)D．當(dāng)x > 0時(shí)，在直線OC和拋物線上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

附加題：在上題中，拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)不變(如下圖)．當(dāng)x > 0時(shí)，在直線(0 < k < 1)和這條拋物線上，是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為以OD為底的等腰梯形．若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：如圖①:

設(shè)直線AB的解析式為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（1，），

∵，解得，∴

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，），

，∴

又∵點(diǎn)C到△OAB各頂點(diǎn)距離相等，即點(diǎn)C是△OAB三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，連接BC，并延長(zhǎng)交OA于E，∴BE⊥OA，OE=AE,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）

在Rt△OEC中，CE=OE?tan30°=,∴C(1,)

設(shè)直線OC的解析式為，

∴=∴

設(shè)直線AC的解析式為，

解得，∴�！咧本�AC交軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D（0，）OD=

當(dāng)OD//PQ時(shí)，①DQ=OP時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形（如圖①）

由題意得，△OCD為等邊三角形，∠CDO=∠COD，

∴Q是直線AD與拋物線的交點(diǎn)，

，解得

當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

當(dāng)時(shí)，,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。

②∠ODQ=90°時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形（如圖②）

過(guò)點(diǎn)D（0，）且平行軸的直線交拋物線于點(diǎn)Q

=，解得=（負(fù)值舍去）

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）

把=代入直線中，得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）

當(dāng)DQ//OP時(shí)，①OD=PQ時(shí)，四邊形DOPQ是等腰梯形，如圖①

過(guò)點(diǎn)D（0，）且平等于OC的直線為

，

交拋物線于點(diǎn)Q

∴，解得（舍）

把代入中，得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）（與點(diǎn)B重合）

又∵△OCD為等邊三角形，∠DOC=∠BPO=60°

設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（1，）且平等于AD的直線，交OC于點(diǎn)P，則，

∴

∴，解得=2

把=2代入中，。∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）

②∠OPQ=90°時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形

由上解法知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）（與點(diǎn)B重合），過(guò)B與OC垂直的直線為AB，設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為P，

∴，解得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）

綜上所述：當(dāng)P₁（，）、Q₁（，）和P₂（2，），Q₂（1，）（與點(diǎn)B重合）時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形；當(dāng)P₃（）、Q₃（）和P₄（）、Q₄（1，）（與點(diǎn)B重合）時(shí)，四邊形DOPQ直角梯形

附加題：

解：由第26題知點(diǎn)D（0，），拋物線為，設(shè)G為OD的中點(diǎn)，G（0，），過(guò)點(diǎn)G作GH垂直于軸，交直線于點(diǎn)H

連接DH，∴H（）

設(shè)直線DH為

∴，解得

∴直線DH：

直線DH與拋物線相交于點(diǎn)Q，

∴

解得

     =（負(fù)值舍去）

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（），

P點(diǎn)坐標(biāo)為（）