Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點E、F同時從點C出發(fā)，以

1

2

cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運動，當點E到達點 A時，兩點同時停止運動，設運動時間為ts．過點F作BC的垂線l交AB于點D，點G與點E關于直線l對稱．

（1）當t=

 

s時，點G在∠ABC的平分線上；
（2）當t=

 

s時，點G在AB邊上；
（3）設△DFG與△DFB重合部分的面積為Scm²，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過點G做GH⊥BD，垂足為H，GM⊥FB，垂足為M，點E、F同時從點C出發(fā)，所以EC=CF=FM=GM=GH=

1

2

t，且DG也是△BDF的角平分線，由△BDF∽△ABC得：

BD

BA

=

BF

CB

=

DF

AC

，∴BD=5-

5

8

t，DF=3-

3

8

t，可求得DL、BM的長度，由DL=DH，BH=BM，構(gòu)造關于t的方程可以求得答案．
（2）點G在AB邊上時，過點G作GH⊥BC，垂足為H，由（1）中的數(shù)值，結(jié)合△BGH∽△BAC，構(gòu)造出關于t的方程，可以得到答案．
（3））由DF∥AC得到△ABC∽△DBF，∴

DF

AC

=

BF

BC

，即

DF

3

=

4- 1 2 t

4

，得到DF=

3

8

(8-t)，分兩種情況討論：
①當0＜t≤

12

5

時，S=S△DFG=S△DEF=

1

2

DF•CF=

1

2

×

3

8

(8-t)×

1

2

t=-

3

32

t2+

3

4

t；
②當

12

5

＜t≤6時，設FG交AB于點M，過點M作MH⊥BC于H，設FH=MH=a，求得BH，解出a與t的關系，繼而求得S與t的關系．

解答：解：（1）

8

5

過點G做GH⊥BD，垂足為H，GM⊥FB，
垂足為M，點E、F同時從點C出發(fā)，所以四邊形ECFL、四邊形LFGM都是正方形，
∴EC=CF=FM=GM=GH=

1

2

t，
又∵DG也是△BDF的角平分線，
∴DL=DH，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△ABC
∴

BD

BA

=

BF

CB

=

DF

AC

，
∴BD=5-

5

8

t，DF=3-

3

8

t，
又∵DL=DH=3-

3

8

t-

1

2

t=3-

7

8

t，
BH=BM=4-t，又∵BD=BH+HD，
∴5-

5

8

t=3-

7

8

t+4-t，解得：t=

8

5

．


（2）

12

5

點G在AB邊上時，過點G作GH⊥BC，垂足為H，
∵GH∥AC，
所以△BGH∽△BAC，
∴

BH

BC

=

GH

AC

，
即：

4-t

4

=

1 2 t

3

，
解得：t=

12

5

．


（3）∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBF，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
即

DF

3

=

4- 1 2 t

4

，
解得DF=

3

8

(8-t)
①當0＜t≤

12

5

時，S=S△DFG=S△DEF=

1

2

DF•CF=

1

2

×

3

8

(8-t)×

1

2

t=-

3

32

t2+

3

4

t．
②當

12

5

＜t≤6時，設FG交AB于點M，過點M作MH⊥BC于H，設FH=MH=a，
則BH=

4

3

a，
∴

1

2

t+a+

4

3

a=4，
解得a=

3

14

(8-t)，
S=S△DFM=

1

2

DF•FH=

1

2

×

3

8

(8-t)×

3

14

(8-t)=

9

224

(8-t)2．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合應用，學會分類討論的思想和用方程思想解幾何題是解題的關鍵．