Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實數(shù)根，其滿足（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80．求實數(shù)a的所有可能值．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實數(shù)根，
∴△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0
所以a≥5或a≤1．…
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，
∵（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，即3（x₁²+x₂²）-10x₁x₂=-80，
∴3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，
整理得，5a²+18a-99=0，
∴（5a+33）（a-3）=0，解得a=3或a=-，
當a=3時，△=9-6×3+5=-4＜0，故舍去，
當a=-時，△=（-）²-6×（-）+6=（）²+6×+6＞0，
∴實數(shù)a的值為-
分析：根據(jù)△的意義由一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²-1=0的兩個實數(shù)根得到△≥0，即（3a-1）²-4（2a²-1）=a²-6a+5≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²-1，由（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80變形得到3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，于是有3（3a-1）²-16（2a²-1）=-80，解方程得到a=3或a=-，然后代入△驗算即可得到實數(shù)a的值．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：如果方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式以及代數(shù)式的變形能力．