Question

設(shè)m是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）若

1

x1

+

1

x2

=1，求

1

3-2m

的值；
（2）求

mx1

1-x1

+

mx2

1-x2

-m²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式,二次函數(shù)的最值

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）首先根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出符合條件的m的值；
（2）把利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系式代入代數(shù)式，細(xì)心化簡(jiǎn)，結(jié)合m的取值范圍求出代數(shù)式的最大值．

解答：解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4（m-2）²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
結(jié)合題意知：-1≤m＜1．

（1）∵x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

-2(m-2)

m2-3m+3

=1
解得：m₁=

1- 5

2

，m₂=

1+ 5

2

（不合題意，舍去）
∴

1

3-2m

=

5

-2．

（2）

mx1

1-x1

+

mx2

1-x2

-m²
=

m(x1+x2)-2mx1x2

1-(x1+x2)+x1x2

-m²
=-2（m-1）-m²
=-（m+1）²+3．
當(dāng)m=-1時(shí)，最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac來(lái)求出m的取值范圍；解答此題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．