Question

7．探索新知：
如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．
（1）一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α；（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）
深入研究：
如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成180°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，射線PM是∠QPN的“巧分線”；
（4）若射線PM同時(shí)繞點(diǎn)P以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止，請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線PQ是∠MPN的“巧分線”時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)巧分線定義即可求解；
（2）分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；
（3）分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可；
（4）分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可．

解答 解：（1）一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）
（2）∵∠MPN=α，
∴∠MPQ=$\frac{1}{2}$α或$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α；
深入研究：
（3）依題意有
①10t=60+$\frac{1}{2}$×60，
解得t=9；
②10t=2×60，
解得t=12；
③10t=60+2×60，
解得t=18．
故當(dāng)t為9或12或18時(shí)，射線PM是∠QPN的“巧分線”；
（4）依題意有
①10t=$\frac{1}{3}$（5t+60），
解得t=2.4；
②10t=$\frac{1}{2}$（5t+60），
解得t=4；
③10t=$\frac{2}{3}$（5t+60），
解得t=6．
故當(dāng)t為2.4或4或6時(shí)，射線PQ是∠MPN的“巧分線”．
故答案為：是；$\frac{1}{2}$α或$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，巧分線定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力．理解“巧分線”．的定義是解題的關(guān)鍵．