Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，分別以AC，AB所在直線為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）．點(diǎn) M（m，n）是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△MAC的面積為S．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求S關(guān)于m的函數(shù)解析式；
（3）是否存在點(diǎn)M，使△AMC為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵BA=AC=4，
∴B（0，4），C（4，0），
∴b=4，k=-1，
∴直線BC的解析式為：y=-x+4，

（2）∵點(diǎn)M（m，n）是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴S=S_△MAC
=×AC×n
=2n
=2（4-m）
=-2m+8，
∴S=-2m+8，

（3）存在這樣的M，
①如圖1，當(dāng)∠ACM為頂角時(shí)，則AC=MC，
作MG⊥AB，MH⊥AC，
∵AC=AB=4，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴CM=4，BC=4，
∴BM=4-4，
∵∠ABC=45°，
∴BG=MG，
∴BG=MG=4-2，
∴AG=MH=2，
∴M（4-2，2），

②如圖2，當(dāng)∠ACM為底角時(shí)，則MA=MC，
作MF⊥AB，ME⊥AC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴當(dāng)M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，MA=MC，
∵AC=AB=4，
∴MF=ME=2，
∴M（2，2），

③如圖3，當(dāng)M點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)∠ACM為底角時(shí)，則MA=AC，
∵B（0，4），
∴M（0，4），
④當(dāng)M在第四象限時(shí)，AC=CM=4，過M作MD⊥x軸，連接AM，如圖所示：

∵∠BAC=∠MDC=90°，∠ACB=∠DCM，
∴△ACB∽△DCM，
∴=，又AB=AC=4，
∴MD=CD=4×=2，AD=AC+CD=4+2，
∴M₄（4+2，-2），
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：M₁（2，2），M₂（0，4），M₃（4-2，2），M₄（4+2，-2）．
分析：（1）根據(jù)題意，即可推出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖形可知，n=4-m，然后根據(jù)三角形的面積公式即可推出結(jié)果；
（3）分情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠ACM為頂角時(shí)，則AC=MC，作MG⊥AB，MH⊥AC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)即可推出BG=MG=4-2，繼而推出AG=MH=2，即M（4-2，2）；
②當(dāng)∠ACM為底角時(shí)，則MA=MC，作MF⊥AB，ME⊥AC，由△ABC為等腰直角三角形，推出當(dāng)M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，MA=MC，根據(jù)題意即可推出MF=ME=2，即M（2，2）；
③當(dāng)M點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)∠ACM為底角時(shí)，則MA=AC，由B（0，4），可得M（0，4），綜上所述，即可推出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，分情況進(jìn)行討論分析，用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)的線段的長度，熟練掌握運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理．