Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，點E從A點出發(fā)以每秒2個單位長的速度向B點運動，點F從C點同時出發(fā)，以每秒1個單位長的速度向D點運動．設運動時間為t秒，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，過點F作FH⊥AB于點P，連接BD交FP于點O，連接OE．
（1）底邊AB=______；
（2）設△BOE的面積為S_△BOE；
①求S_△BOE與時間t的函數(shù)關系式；
②當t為何值時，S_△BOE=S_梯形ABCD．
（3）是否存在點E，使得△BOE為直角三角形；若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）是否存在某一時刻，使得OE∥BC？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點C作CH⊥AB于H，
∵∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，
∴CH=4，CD=AH=3，
∴BH==3，
∴AB=3+3=6，
故答案為6；

（2）①經(jīng)過t秒時，AE=2t，CF=t，則BE=6-2t，DF=3-t，
∵AB∥DC，
∴∠ODF=∠DBA，
∵FP⊥AB，
∴FP⊥CD，
∴∠DFO=∠A=90°，
∴△ODF∽△DBA，
∴=．
即=，OF=2-t．
∴OP=FP-OF=4-（2-t）=2+t，
∴S_△BOE=BE•OP=（6-2t）（2+t）=-t²+6；
②∵S_梯形ABCD=（CD+AB）•AD=（3+6）×4=18．
S_△BOE=S_梯形ABCD，即-t²+6=×18，
解得t=或t=；

（3）存在．
設經(jīng)過t秒時，△BOE為直角三角形．
①若∠BOE=90°，則AE＜AP，
∵AP=DF，
∴2t＜3-t．解得t＜1，
∴EP=AP-AE=3-t-2t=3-3t，BP=AB-AP=6-（3-t）=3+t．
∵∠EOP+∠BOP=90°，∠OBP+∠BOP=90°，
∴∠EOP=∠OBP，
∵∠OPE=∠BPO=90°，
∴△EOP∽△OBP，
∴=，OP²=BP•EP．
∴（2+t）²=（3+t）（3-3t），
解得t=；
②若∠OEB=90°，此時OE與OP重合，
∴AE=AP=DF，
∴2t=3-t，
∴t=1；

（4）存在，t=．
當OE∥BC時，易證△EOB∽△CBD，
∴=，
易證△OBP∽△DBA，
∴=，
∴=，=，
解得t=．
分析：（1）過點C作CH⊥AB于H，利用已知條件和勾股定理即可求出AB的值；
（2）①經(jīng)過t秒時，AE=2t，CF=t，則BE=6-2t，DF=3-t，證明△ODF∽△DBA，利用相似的性質(zhì)可求出OF的長，進而求出OP的長，再利用三角形面積公式即可求出△BOE的面積；②利用已知條件求出梯形ABCD的面積，有①可得關于t的一元二次方程，求出符合題意的t值即可；
（3）設經(jīng)過t秒時，△BOE為直角三角形，在分當∠BOE=90°和∠OEB=90°時討論求出符合題意的t值即可；
（4）當OE∥BC時易證△EOB∽△CBD和△OBP∽△DBA，利用相似的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可求出符合題意的t值．
點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、勾股定理的運用、三角形的面積公式以及梯形的面積公式、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)、以及分類討論思想在解幾何圖形中的應用，題目綜合性很強難度不小．