Question

6．如圖所示，設(shè)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBA=10°，∠PCB=30°，∠BAP=20°，∠CBP=40°，求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 由∠PCB=30°聯(lián)想到等邊三角形，將△BPC沿著PC翻折到△DPC的位置，連接DB、DP、DA，易證△DCB是等邊三角形，由此可得到∠PDB=∠PBD=20°=∠BAP，從而可得A、P、B、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠ADP=∠ABP=10°，由此可得到∠ADB=30°=∠ADC，從而可證到△ADB≌△ADC，則有AB=AC．

解答 證明：將△BPC沿著PC翻折到△DPC的位置，連接DB、DP、DA，如圖，
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得：PD=PB，CD=CB，∠DCP=∠BCP=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△DCB是等邊三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，
∴∠PDB=∠PBD=∠DBC-∠PBC=60°-40°=20°，
∵∠BAP=20°，∴∠PDB=∠BAP，
∴A、P、B、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADP=∠ABP=10°，
∴∠ADB=∠PDB+∠ADP=20°+10°=30°，
∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=60°-30°=30°，
∴∠ADB=∠ADC．
在△ADB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，有一定的難度，由30°角聯(lián)想到等邊三角形是解決本題的關(guān)鍵．