Question

如圖，有一條河流，河寬AB=30米，有人在離B點(diǎn)60米處的C點(diǎn)發(fā)現(xiàn)河對岸A點(diǎn)處有一小孩掉入水中，這個(gè)人馬上就去營救，已知這個(gè)人在河岸上跑步的速度為6米/秒，在河水中游泳的速度為3米/秒．
（1）這個(gè)人能否在19秒內(nèi)趕到A點(diǎn)？若能，請給出一種方案．
（2）此人最快能在幾秒鐘內(nèi)趕到A點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）能趕到，設(shè)營救者在河岸上從C點(diǎn)跑到D點(diǎn)，然后從D點(diǎn)游到A點(diǎn)，如取CD=45，DB=15時(shí)；
（2）設(shè)DB=x，則CD=60-x，求得t與x的關(guān)系式，然后令y=2

302+x2

-x，則（y+x）²=（900+x²），根據(jù)一元二次方程根的判別式求出y的取值范圍，即可求出t的最小值．

解答：解：（1）能趕到，設(shè)營救者在河岸上從C點(diǎn)跑到D點(diǎn)，然后從D點(diǎn)游到A點(diǎn)，如取CD=45，DB=15時(shí)
t=

45

6

+

15 5

3

=

15

2

+5

5

≈18.7＜19，

（2）設(shè)DB=x，則CD=60-x，
∴時(shí)間t=

60-x

6

+

900+x2

3

=10+

1

6

（2

302+x2

-x），
令y=2

302+x2

-x，則即3x²-2yx+4×30²-y²=0（2分）（y+x）²應(yīng)等于4（900+x²）
∴△=（2y）²-4×3×（4×30²-y²）≥0
解得y≥30

3

，
∴t最少為10+

1

6

×30

3

=10+5

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)最值的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式和列函數(shù)關(guān)系式的知識，此題有一定的難度．