Question

13．一個二次函數(shù)的圖象上任一點的坐標（x，y）滿足方程$\sqrt{（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y+\frac{21}{8}）^{2}}$=|y+$\frac{29}{8}$|．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）若此二次函數(shù)與x軸的交點分別為A，B（A在B的左邊），與y軸的交點為C，在此二次函數(shù)的圖象上與x軸上分別找一點D，E（點D不同于點C），使得以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似．求出所有滿足條件的點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊平方，可得答案；
（2）根據(jù)有兩個角相等的三角形相似，可得△AOC∽△ACB，△ADF與△ADE總是相似，分類討論：①若∠DAE=∠ABC，則△AOC∽△，②若∠DAE=∠BAC，則△AOC∽△AED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于D點橫坐標的方程，根據(jù)解方程，可得D點坐標．

解答 解：（1）兩邊平方得，${（x-\frac{3}{2}）^2}=2y+\frac{25}{4}$
所以二次函數(shù)為$y=\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}x-2$．
（2）令y=0，得x²-3x-4=0．
所以x₁=-1，x₂=4，即得A（-1，0），B（4，0）．
又令x=0，得y=-2，得C（0，-2）．
因為AB²=AC²+BC²．
所以△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形．
因為∠DAE不可能為直角．                                      
由題意可得，∠DAE=∠BAC或∠DAE=∠ABC．
作DE⊥x軸，E為垂足，設D（x₀，y₀），則DE=|y₀|，AE=|x₀+1|．
因為△AOC∽△ACB，而△ADF與△ADE總是相似的．
①若∠DAE=∠ABC，則△AOC∽△DEA，如圖1：．
所以$\frac{AE}{OC}$=$\frac{DE}{AO}$，即$\frac{|{x}_{0}+1|}{2}$=$\frac{{|y}_{0}|}{1}$．
所以|x₀+1|•|x₀-4|=|x₀+1|．
因為x₀≠-1，所以x₀=3或5．
所以D′（3，-2）或D（5，3）．                                       
②若∠DAE=∠BAC，則△AOC∽△AED，如圖2：．
所以$\frac{AE}{AO}$=$\frac{DE}{CO}$，即$\frac{{|{x_0}+1|}}{1}=\frac{{|{y_0}|}}{2}$．
所以|x₀+1|•|x₀-4|=4|x₀+1|．
因為x₀≠-1，所以x₀=0或8．
又D不同于點C，所以D″（8，18）．                               
綜上所述，點D的坐標為D′（3，-2）或D（5，3）或D″（8，18）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了等式的性質(zhì)，（2）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏，利用有兩個角相等的三角形相似，得出△AOC∽△ACB，△ADF∽△ADE，可簡便運算．