Question

12．觀察下列各式：
（x²-1）=（x-1）（x+1），
（x³-1）=（x-1）（x²+x+1），
（x⁴-1）=（x-1）（x³+x²+x+1），
（x⁵-1）=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）…
（1）根據(jù)上面規(guī)律直接寫出（x-1）（xⁿ+…+x⁴+x³+x²+x+1）的結(jié)果是xⁿ⁺¹-1；
（2）計(jì)算：2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1；
（3）已知：x³+x²+x+1=0，求x¹⁰⁰的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)上面的規(guī)律即可得出答案；
（2）根據(jù)2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1變形為（2-1）（2¹⁰+2⁹+2⁸+2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）；
（3）先對(duì)x³+x²+x+1分解因式（x+1）（x²+1），求得x=-1，再代入即可．

解答 解：（1）由題意可得出：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）
=xⁿ⁺¹-1；
故答案為：xⁿ⁺¹-1；
（2）原式=（2-1）（2¹⁰+2⁹+2⁸+…+2+1）
=2¹¹-1．
（3）∵x³+x²+x+1=0，
∴x³+x²+x+1=（x+1）（x²+1），
∵x²+1≥0，
∴x+1=0，
∴x=-1，
∴x¹⁰⁰=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平方差公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是仔細(xì)觀察題目給出的式子，得出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．