Question

17．如圖，線段AB的長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不與點(diǎn)A重合，以AD為邊作等邊△ACD，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CD，過(guò)DP上一動(dòng)點(diǎn)G（不與點(diǎn)D重合）作矩形CDGH，對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OA、OB，則線段OB的最小值是5．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分得：OC=OD，再證明△ACO≌△ADO，則∠OAB=30°；點(diǎn)O一定在∠CAB的平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)OB⊥AO時(shí)，OB的長(zhǎng)最小，根據(jù)直角三角形30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論．

解答 解，∵四邊形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=$\frac{1}{2}$CG，OD=$\frac{1}{2}$DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∵OA=OA，
∴△ACO≌△ADO，
∴∠OAB=∠CAO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴點(diǎn)O一定在∠CAB的平分線上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)OB⊥AO時(shí)，OB的長(zhǎng)最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
即OB的最小值為5cm，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，利用了矩形對(duì)角線相等且平分的性質(zhì)得對(duì)角線的一半相等，為三角形全等用鋪墊；另外還利用了垂線段最短解決了求最值問(wèn)題．