Question

9．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；
（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以$\sqrt{2}$個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？
（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線，直線解析式；
（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）確定出面積達(dá)到最大時(shí)，直線PC和拋物線相交于唯一點(diǎn)，從而確定出直線PC解析式為y=-x+$\frac{21}{4}$，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，
∵A（3，0），B（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3；
（2）由運(yùn)動(dòng)得，OE=t，AF=$\sqrt{2}$t，
∵OA=3，
∴AE=OA-OE=3-t，
∵△AEF和△AOB為直角三角形，且∠EAF=∠OAB，
①如圖1，

當(dāng)△AOB∽△AEF時(shí)，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}}=\frac{3-t}{3}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
②如圖2，

當(dāng)△AOB∽△AFE時(shí)，
∴$\frac{OA}{AF}=\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{2}t}=\frac{3\sqrt{2}}{3-t}$，
∴t=1；
（3）如圖，存在，

過點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C，
∵直線AB解析式為y=-x+3，
∴設(shè)直線PC解析式為y=-x+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴-x+b=-x²+2x+3，
∴x²-3x+b-3=0
∴△=9-4（b-3）=0
∴b=$\frac{21}{4}$，
∴BC=$\frac{21}{4}$-3=$\frac{9}{4}$，x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
過點(diǎn)B作BD⊥PC，
∴直線BD解析式為y=x+3，
∴$\sqrt{2}$BD=$\frac{9}{4}$，
∴BD=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∵AB=3$\sqrt{2}$
S_最大=$\frac{1}{2}$AB×BD=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{9\sqrt{2}}{8}$=$\frac{27}{8}$．
即：存在面積最大，最大是$\frac{27}{8}$，此時(shí)點(diǎn)P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的解析式的確定方法，互相垂直的直線解析式的確定方法，解本題的關(guān)鍵是確定出△PAB面積最大時(shí)點(diǎn)P的特點(diǎn)．