Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（4，0），以點A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，OC為弦，∠AOC=60°，當(dāng)點P在直徑OB上運動時，連CP并延長與⊙A相交于點Q，PO=2或2+2$\sqrt{3}$時，△OCQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 本題分兩種情況：
①以O(shè)為頂點，OC，OQ為腰．那么可過C作x軸的垂線，交圓于Q，此時三角形OCQ就是此類情況所說的等腰三角形；那么此時PO可在直角三角形OCP中，根據(jù)∠COA的度數(shù)，和OC即半徑的長求出PO．
②以Q為頂點，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過圓心，如果設(shè)垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOQ中根據(jù)∠QAE的度數(shù)和半徑的長求出Q的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點，也就求出了PO的值．

解答 解：①過點C作CP₁⊥OB，垂足為P₁，延長CP₁交⊙A于Q₁；如圖①，
∵OA是半徑，
∴$\widehat{OC}=\widehat{O{Q}_{1}}$，
∴OC=OQ₁，
∴△OCQ₁是等腰三角形；
又∵△AOC是等邊三角形，
∴P₁O=$\frac{1}{2}$OA=2；
②過A作AD⊥OC，垂足為D，延長DA交⊙A于Q₂，CQ₂與x軸交于P₂；如圖②，
∵A是圓心，
∴DQ₂是OC的垂直平分線，
∴CQ₂=OQ₂，
∴△OCQ₂是等腰三角形；
過點Q₂作Q₂E⊥x軸于E，
在Rt△AQ₂E中，
∵∠Q₂AE=∠OAD=$\frac{1}{2}$∠OAC=30°，
∴Q₂E=$\frac{1}{2}$AQ₂=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∴點Q₂的坐標(biāo)（4+$2\sqrt{3}$，-2）；
在Rt△COP₁中，
∵P₁O=2，∠AOC=60°，
∴$C{P}_{1}=2\sqrt{3}$
∴C點坐標(biāo)（2，$2\sqrt{3}$）；
設(shè)直線CQ₂的關(guān)系式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{-2=（4+2\sqrt{3}）k+b}\\{2\sqrt{3}=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-x+2+2$\sqrt{3}$；
當(dāng)y=0時，x=2+2$\sqrt{3}$，
∴P₂O=2+2$\sqrt{3}$．
故答案為：2或2+2$\sqrt{3}$．

點評 本題綜合考查函數(shù)、圓的切線，等邊三角形的判定以及垂徑定理等知識點．要注意等腰三角形要按頂點和腰的不同來分類討論．