Question

18．如圖①，直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與直線l₂：y=kx-6交于點C（4，2）．
（1）求A、B兩點坐標及k、b的值；
（2）如圖②，在線段BC上有一點E，過點E作y軸的平行線交直線l₂于點F，過E、F分別作EH⊥y軸，F(xiàn)G⊥y軸，垂足分別為H、G，設(shè)點E的橫坐標為m，當(dāng)m為何值時，矩形EFGH的面積為$\frac{15}{2}$；
（3）若點P為x軸上一點，則在平面直角坐標系中是否存在一點Q，使得P、Q、A、B四個點能構(gòu)成一個菱形．若存在，求出所有符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b與直線l₂：y=kx-6交于點C（4，2），可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4+b=2}\\{4k-6=2}\end{array}\right.$，求出k、b的值各是多少；然后根據(jù)y=-$\frac{1}{2}$x+4分別與x軸、y軸交于A、B兩點，求出A、B兩點的坐標各是多少即可．
（2）首先根據(jù)點E是直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+4上的一點，點F是直線l₂：y=2x-6上的一點，求出點E、點F的坐標各是多少；然后根據(jù)矩形EFGH的面積為$\frac{15}{2}$，求出m的值是多少即可．
（3）在平面直角坐標系中存在點Q，使得P、Q、A、B四個點能構(gòu)成一個菱形．根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)PA=PB時；②當(dāng)BP=BA時；③當(dāng)AB=AP時；然后根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出所有符合條件的Q點坐標即可．

解答 解：（1）∵直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b與直線l₂：y=kx-6交于點C（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4+b=2}\\{4k-6=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∵y=-$\frac{1}{2}$x+4分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴A點的坐標是（8，0），B點的坐標是（0，4）．

（2）∵EF∥y軸，點E的橫坐標為m，
∴點F的橫坐標也為m，
∵點E是直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+4上的一點，
∴點E的坐標是（m，-$\frac{1}{2}$m+4），
∵點F是直線l₂：y=2x-6上的一點，
∴點F的坐標是（m，2m-6），
∵矩形EFGH的面積為$\frac{15}{2}$，
∴[（-$\frac{1}{2}$m+4）-（2m-6）]×m=$\frac{15}{2}$，
∴$-\frac{5}{2}$m²+10m=$\frac{15}{2}$，
解得m=1或m=3，
即當(dāng)m為1或3時，矩形EFGH的面積為$\frac{15}{2}$．

（3）在平面直角坐標系中存在點Q，使得P、Q、A、B四個點能構(gòu)成一個菱形．
①如圖1，

當(dāng)PA=PB時，
設(shè)OP=a，
則PA=PB=8-a，
在Rt△POB中，
a²+4²=（8-a）²，
解得a=3，
∴BQ=PA=8-3=5，
∴點Q的坐標是（5，4）．

②如圖2，

當(dāng)BP=BA時，
∵PA⊥QB，OP=OA=8，
∴點Q、B關(guān)于x軸對稱，
∵點B的坐標是（0，4），
∴點Q的坐標是（0，-4）．

③如圖3，圖4，
，
當(dāng)AB=AP時，
∵OA=8，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BQ=4$\sqrt{5}$，
∴點Q的坐標是（4$\sqrt{5}$，4）或（-4$\sqrt{5}$，4）．
綜上，可得在平面直角坐標系中存在點Q，使得P、Q、A、B四個點能構(gòu)成一個菱形，符合條件的Q點坐標為（5，4）、（0，-4）、（4$\sqrt{5}$，4）或（-4$\sqrt{5}$，4）．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．