Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2，射線AM、BM為半圓O的切線，在AM上取一點(diǎn)D，連接BD交半圓于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥BC，延長(zhǎng)OE交BN于點(diǎn)F，過(guò)D點(diǎn)作半圓O的切線DP，并延長(zhǎng)交BN于點(diǎn)Q。
（1）求證：△ACB∽△OBF；
（2）當(dāng)△ABD與△BFO的面積相等時(shí)，求BQ的長(zhǎng)；
（3）求證：當(dāng)D在AM上移動(dòng)時(shí)（A點(diǎn)除外），點(diǎn)Q始終是線段BF的中點(diǎn)。

Answer 1

解：（1）∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°， 即：AC⊥BC， 又∵OE⊥BC， ∴OE∥AC， ∴∠BAC=∠FOB， 又∵BN是半圓的切線， ∴∠BCA=∠FBO=90°， ∴△ACB∽△OBF；
（2）由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， △ABD與△BFO的面積相等時(shí)，△ABD≌△BFO， ∴AD=OB=1， 如圖，連接OP， ∵DPQ是半圓O的切線， ∴AO=OP=DP=AD=1，OP⊥DP， ∴四邊形AOPD是正方形， ∴四邊形OBQP是正方形， ∴BQ=OB=1；
（3）由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴， ∴， ∵DPQ是半圓O的切線， ∴AD=DP，QB=BQ， 過(guò)Q點(diǎn)作AM的垂線QK，垂足為K， 在Rt△DQK中， DQ2=QK2+DK2， ∴（AD+BQ）2=22+（AD-BQ）2， ∴， ∴BF=2BQ， ∴Q為BF的中點(diǎn)。