Question

已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA=

3

5

，點(diǎn)D是邊AC上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，且滿足∠AED=∠A，DE的延長線交射線CB于點(diǎn)F，設(shè)AD=x，EF=y．

（1）如圖1，用含x的代數(shù)式表示線段AE的長；
（2）如圖1，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及函數(shù)的定義域；
（3）連接EC，如圖2，求當(dāng)x為何值時(shí)，△AEC與△BEF相似？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AE，垂足為點(diǎn)H．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義可得含x的代數(shù)式表示線段AE的長；
（2）過點(diǎn)D作DG∥AB，交BC于點(diǎn)G．根據(jù)平行線分線段成比例可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式及函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)△AEC與△BEF相似時(shí)，有兩種情況：①∠A=∠FEB，

AE

AC

=

BE

EF

；②∠A=∠FEB，

AE

AC

=

EF

BE

；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得x的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AE，垂足為點(diǎn)H．
∵∠A=∠AED，
∴AD=ED，
∴AH=

1

2

AE，
∵cosA=

3

5

，AD=x，
∴AH=

3

5

x，
∴AE=

6

5

x．

（2）過點(diǎn)D作DG∥AB，交BC于點(diǎn)G．
∴

DG

AB

=

CD

AC

，
∵AB=4，AC=5，
∴

DG

4

=

5-x

5

，
∴DG=

20-4x

5

，
∵AB∥DG，
∴

BE

DG

=

FE

FD

，
∵BE=4-

6

5

x，EF=y，
∴

4- 6 5 x

20-4x 5

=

y

y+x

，
∴y=10-3x(0＜x＜

10

3

)．

（3）∵∠AED=∠FEB，∠AED=∠A，
∴∠A=∠FEB，
當(dāng)△AEC與△BEF相似時(shí)，有兩種情況：
①∠A=∠FEB，

AE

AC

=

BE

EF

，
∴

6 5 x

5

=

4- 6 5 x

y

，
又∵y=10-3x，
∴x=

5

3

；
②∠A=∠FEB，

AE

AC

=

EF

BE

，
∴

6 5 x

5

=

y

4- 6 5 x

，
又∵y=10-3x，
∴x=

125

12

（舍）．
綜上所述，當(dāng)x=

5

3

時(shí)，△AEC與△BEF相似．

點(diǎn)評：考查了相似形綜合題，其中包括等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、平行線分線段成比例、相似三角形的性質(zhì)，其中第三問要分兩種情況討論，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．