Question

6．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+x的對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為A
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA、OP．
①當(dāng)OA⊥OP時，求OP的長；
②過點(diǎn)P作OP的垂線交對稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)OB，當(dāng)∠OAP=∠OBP時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線對稱軸列方程求出a，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)拋物線解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，①求出∠OAE=∠EOP，然后根據(jù)銳角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
②過點(diǎn)B作AP的垂線，垂足為F，根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后表示出BF、EF，在△AOE和△POB中，利用相等的銳角的正切值相等列式求出$\frac{AE}{OE}$=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{1}{2}$，再求出△BPF與△POE相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解得到a的值，從而得解．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+x的對稱軸為直線x=2，
∴-$\frac{1}{2a}$=2，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）；

（2）設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．
①如圖，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=$\frac{OE}{AE}$，tan∠EOP=$\frac{PE}{OE}$，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE=∠EOP，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∵AE=1，OE=2，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{PE}{2}$，
解得PE=4，
∴OP=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

②如圖，過點(diǎn)B作AP的垂線，垂足為F，
設(shè)點(diǎn)B（a，-$\frac{1}{4}$a²+a），則BF=a-2，EF=-（-$\frac{1}{4}$a²+a）=$\frac{1}{4}$a²-a，
在Rt△AOE和Rt△POB中，cot∠OAE=$\frac{AE}{OE}$，cot∠OBP=$\frac{BP}{OP}$，
∵∠OAE=∠OBP，
∴$\frac{AE}{OE}$=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠BFP=∠PEO，∠BPF=∠POE，
∴△BPF∽△POE，
∴$\frac{BF}{PE}$=$\frac{BP}{OP}$=$\frac{PF}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∵OE=2，
∴PF=1，
∴PE=$\frac{1}{4}$a²-a+1，
∴$\frac{a-2}{\frac{1}{4}{a}^{2}-a+1}$=$\frac{1}{2}$，
整理得，a²-12a+20=0，
解得a₁=10，a₂=2（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（10，-15）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，難點(diǎn)在于（2）②作輔助線構(gòu)造出相似三角形并最終列出關(guān)于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的比例式．