Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的長；
（3）若CD=CE，則直線CD是以點E為圓心，AE長為半徑的圓的切線．試證明之．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，然后根據(jù)∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFE=∠B，得出∠AFD=∠C，從而得出△ADF∽△DEC；
（2）根據(jù)已知和勾股定理得出DE=

AD2+AE2

，再根據(jù)△ADF∽△DEC，得出

AF

DC

=

AD

DE

，即可求出AF的長；
（3）先過點E作EH⊥CD于點H，在△ADE和△HDE中，根據(jù)AAS得出△ADE≌△HDE，AE=HE，即可得出直線CD是以點E為圓心，AE長為半徑的圓的切線．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵AE⊥BC，AD=3

3

，AE=3，
∴DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得

AF

DC

=

AD

DE

，
∴AF=

DC×AD

DE

=

4×3 3

6

=2

3

．  

（3）過點E作EH⊥CD于點H．
∵CD=CE，
∴∠CED=∠CDE．
∵∠ADE=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE．
又∵∠EAD=∠EHD=90°，DE=DE，
在△ADE和△HDE中，

∠ADE=∠CDE ∠EAD=∠EHD DE=DE

∴△ADE≌△HDE，
∴AE=HE，
∴直線CD是以點E為圓心，AE長為半徑的圓的切線．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形．